Question

7．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）•sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）-sin（π+x），且函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈[0，$\frac{π}{2}$），使等式[g（x）]²-mg（x）+2=0成立，求实数a的最大值和最小值；
（Ⅲ）若当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用三角函数图象的对称性求得函数g（x）的解析式．
（Ⅱ）利用余弦函数的定义域和值域，求得t=g（x）∈[1，2]．由题意可得，即t²-mt+2=0能成立，即m=t+$\frac{2}{t}$，t∈[1，2]．再利用对勾函数的单调性，求得实数m的最大值和最小值．
（Ⅲ）当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时，f（x）∈[-$\sqrt{2}$，1]，g（-x）∈[-1，1]，利用当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）•sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）-sin（π+x）
=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）•cos（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）+sinx
=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）+sinx
=$\sqrt{3}$cosx+sinx
=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，
∴g（x）=f（$\frac{π}{2}$-x）=2sin（$\frac{π}{2}$-x+$\frac{π}{3}$）
=2sin（$\frac{5π}{6}$-x）=2cos（$\frac{π}{3}$-x）=2cos（x-$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）由x∈[0，$\frac{π}{2}$），可得x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），
∴cos（x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴t=g（x）∈[1，2]．
若存在x∈[0，$\frac{π}{2}$），使等式[g（x）]²-mg（x）+2=0成立，即t²-mt+2=0能成立，
即m=t+$\frac{2}{t}$，t∈[1，2]．
由对勾函数的单调性可得，函数m在[1，$\sqrt{2}$]上单调递减，在（$\sqrt{2}$，2]上单调递增，
当t=1时，m=3；t=$\sqrt{2}$时，m=2$\sqrt{2}$，t=2时，m=3，
故实数m的最大值为3，最小值为2$\sqrt{2}$．
（Ⅲ）当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时，f（x）∈[-$\sqrt{2}$，1]，g（-x）∈[-1，1]，
∵当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，
∴a＜-$\sqrt{2}$或a＞$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，三角函数图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，函数的能成立问题，对勾函数的单调性，属于中档题．