Question

19．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$）．若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
（1）求f（x）递增区间；
（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的解析式，根据正弦函数的性质求出函数的递增区间即可；
（2）根据正弦定理得到B的值，求出f（A）的解析式，根据三角函数的性质求出f（A）的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+{cos^2}\frac{x}{4}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{{1+cos\frac{x}{2}}}{2}$=$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，…（3分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{x}{2}+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$得：$4kπ-\frac{4π}{3}≤x≤4kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z$，
∴f（x）的递增区间为$[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]，k∈Z$…（6分）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA≠0，∴$cosB=\frac{1}{2}$…（8分）
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$，∴$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜\frac{A}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，$sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1）$，
又∵$f（x）=sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，∴$f（A）=sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
故函数f（A）的取值范围是$（1，\frac{3}{2}）$…（12分）

点评 本题考查了三角函数的性质，考查正弦定理以及函数的单调性问题，是一道中档题．