Question

9．在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，$\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=2$，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$的值是8．

Answer 1

分析 由已知条件便可得到$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，从而$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$）=2，运用数量积的运算即可得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$．

解答 解：根据条件：$\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=2$，
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$）•（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CP}$）
=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$）
=$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{16}$$\overrightarrow{AB}$²=2
=9-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{16}$×16，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=8．
故答案为：8．

点评 本题考查向量加法的几何意义，共线向量基本定理，相等向量的概念，以及向量数量积的运算，属于中档题．