Question

14．已知函数f（x）=$\frac{2}{3}$x³-2ax²-3x
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程
（2）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a²x≥lnx-3a-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程；
（2）由题意：2ax²+1≥lnx，即a≥$\frac{lnx-1}{{2x}^{2}}$，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围；

解答 解：（1）由题意知f（x）=$\frac{2}{3}$x³-3x，所以f′（x）=2x²-3，
又f（3）=9，f′（3）=15，
所以曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程为15x-y-36=0；
（2）由题意：2ax²+1≥lnx，即a≥$\frac{lnx-1}{{2x}^{2}}$，
设g（x）=$\frac{lnx-1}{{2x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{3-2lnx}{{2x}^{3}}$，
当0＜x＜${e}^{\frac{3}{2}}$时，g'（x）＞0；当x＞${e}^{\frac{3}{2}}$时，g′（x）＜0，
所以当x=${e}^{\frac{3}{2}}$时，g（x）取得最大值g（x）_^max=$\frac{1}{{4e}^{3}}$，
故实数a的取值范围为[$\frac{1}{{4e}^{3}}$，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．