Question

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$sinA=\sqrt{6}sinC$，$c=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）如果$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求b的值及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得$a=\sqrt{6}c$，由此能求出a．
（Ⅱ）由余弦定理求出b=5，由此能求出△ABC的面积．

解答 （本小题9分）
解：（Ⅰ）因为$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$以及$sinA=\sqrt{6}sinC$，…（2分）
所以$a=\sqrt{6}c$，
因为$c=\sqrt{3}$…（3分）
所以$a=3\sqrt{2}$…（4分）
（Ⅱ）因为a²=b²+c²-2bccosA以及$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（5分）
所以b²-2b-15=0，因为b＞0，…（6分）
所以b=5…（7分）
因为$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，0＜A＜π，
所以$sinA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（8分）
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．…（9分）

点评 本题考查三角形中边长的求法，考查三角形面积的求法，考查三角形面积、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．