Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的单调递增区间
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函数g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1的值域．

Answer 1

分析 （1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）利用三角恒等变换化简g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，求得它的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
再根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，可得函数的增区间为[0，$\frac{π}{6}$]．
（2）函数g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1=$\frac{1}{2}$•4${sin}^{2}（2x+\frac{π}{6}）$-2sin（2x+$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）-1
=2${sin}^{2}（2x+\frac{π}{6}）$-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1
=-2•${cos}^{2}（2x+\frac{π}{6}）$-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）+1=-2•${[cos（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}]}^{2}$+$\frac{3}{2}$．
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
故当cos（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$时，g（x）取得最大值为$\frac{3}{2}$；
当cos（2x+$\frac{π}{6}$）=1时，g（x）取得最小值为-3，
故函数g（x）的值域为[-3，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．