Question

4．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B．已知AB=1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（

• A． 6$\sqrt{2}$km/h
• B． 8km/h
• C． 2$\sqrt{34}$km/h
• D． 10km/h

Answer 1

分析 设客船在静水中的速度大小为$\overrightarrow{{V}_{静}}$km/h，水流速度为$\overline{{V}_{水}}$，则$\overrightarrow{{V}_{水}}$=2km/h，则船实际航行的速度$\overrightarrow{V}$=$\overrightarrow{{V}_{静}}+\overrightarrow{{V}_{水}}$．t=$\frac{6}{60}$=0.1h，把船在静水中的速度正交分解为$\overrightarrow{{V}_{静}}$=$\overrightarrow{{V}_{x}}+\overrightarrow{{V}_{y}}$．利用客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，即可分别得出$\overrightarrow{{V}_{y}}$及$\overrightarrow{{V}_{x}}$．再利用向量的运算法则和向量模的计算公式、即可得出．

解答 解：设客船在静水中的速度大小为$\overrightarrow{{V}_{静}}$km/h，水流速度为$\overline{{V}_{水}}$，
则$\overrightarrow{{V}_{水}}$=2km/h，则船实际航行的速度$\overrightarrow{V}$=$\overrightarrow{{V}_{静}}+\overrightarrow{{V}_{水}}$．
t=$\frac{6}{60}$=0.1h，
由题意得|$\overrightarrow{V}$|≤$\frac{AB}{0.1}$=10，
把船在静水中的速度正交分解为$\overrightarrow{{V}_{静}}$=$\overrightarrow{{V}_{x}}+\overrightarrow{{V}_{y}}$．
∴|$\overrightarrow{{V}_{y}}$|=$\frac{0.6}{0.1}$=6，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{{1}^{2}-0．{6}^{2}}$=0.8，
∵|$\overrightarrow{{V}_{x}}+\overrightarrow{{V}_{水}}$|=|$\overrightarrow{{V}_{x}}$|+|$\overrightarrow{{V}_{水}}$|=$\frac{BC}{0.8}$=8，
∴|$\overrightarrow{{V}_{水}}$|=8-2=6，
∴|$\overrightarrow{{V}_{静}}$|=$\sqrt{|\overrightarrow{{V}_{x}}{|}^{2}+|\overrightarrow{{V}_{y}}{|}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{{V}_{静}}$=6$\sqrt{2}$km/h．
设＜$\overrightarrow{{V}_{静}}，\overrightarrow{{V}_{水}}$＞=θ，则tanθ=$\frac{|\overrightarrow{{V}_{y}}|}{|\overrightarrow{{V}_{x}}|}$=1，∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
此时，|$\overrightarrow{V}$|=|$\overrightarrow{{V}_{静}}+\overrightarrow{{V}_{水}}$|=$\sqrt{|\overrightarrow{{V}_{静}}{|}^{2}+2\overrightarrow{{V}_{静}}•\overrightarrow{{V}_{水}}+|\overrightarrow{{V}_{水}}{|}^{2}}$
=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}+2×6\sqrt{2}×2cosθ+{2}^{2}}$=10≤10，满足条件．
故选：A．

点评 本题考查客船在静水中的速度的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题，熟练掌握向量的运算法则、向量的正交分解和向量模的计算公式是解题的关键．