Question

12．若函数$f（x）=4sinωx•{sin^2}（{\frac{ωx}{2}+\frac{π}{4}}）-2{sin^2}ωx（ω＞0）$在$[{-\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}}]$上是增函数，则ω的取值范围是（　　）

• A． （0，1]
• B． $（{0，}\right.\left.{\frac{3}{4}}]$
• C． [1，+∞）
• D． $[{\frac{3}{4}}\right.，+∞）$

Answer 1

分析 将函数化简，根据复合函数的性质求出单调区间，与已知区间比较即可．

解答 解：∵f（x）=4sinωx•sin²（ $\frac{ωx}{2}$+$\frac{π}{4}$）+cos2ωx-1
=4sinωx•$\frac{1-cos（ωx+\frac{π}{2}）}{2}$+cos2ωx-1
=2sinωx（1+sinωx）+cos2ωx=2sinωx，
∴[-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$]是函数含原点的递增区间．
又∵函数在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上递增，∴[-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$]?[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴得不等式组 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2ω}≤-\frac{π}{2}}\\{\frac{2π}{3}≤\frac{π}{2ω}}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{ω≤1}\\{ω≤\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
又∵ω＞0，0＜ω≤$\frac{3}{4}$，
ω的取值范围是（0，$\frac{3}{4}$]．
故选：B．

点评 本题考查复合函数单调区间，属于中档题．