Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），|$\overrightarrow{b}$|=2．
（1）若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$和|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求向量$\overrightarrow{b}$的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用数量积的定义计算$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，计算|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|²即可得出|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|；
（2）设$\overrightarrow{b}$=（m，n），列出方程组解出m，n即可．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{1+3}$=2，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=2×2×cos$\frac{π}{3}$=2．
∵（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$=4-8+16=12，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$．
（2）设$\overrightarrow{b}$=（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=4}\\{m+\sqrt{3}n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\sqrt{3}}\\{n=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{3}}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{b}$=（-$\sqrt{3}$，1）或$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-1）．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．