Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}$x+m在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值是6．
（1）求m的值以及函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=5，a=4，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质
求出$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时f（x）的最大值，解得m的值，再求f（x）的单调增区间；
（2）由f（A）求得A的值，再由余弦定理和三角形面积公式求出b+c的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}$x+m
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+m
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1+m；
当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴f（x）_max=2+1+m=6，解得m=3；…（4分）
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∴函数f（x）的单调增区间为$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]，k∈Z$；…（6分）
（2）由f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+4=5，
得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$；
又A∈（0，π），∴2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得$A=\frac{π}{3}$；…（8分）
∴a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-$\frac{1}{2}$bccos$\frac{π}{3}$=4²，
即b²+c²-bc=16①；
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
化简得bc=4②，…（10分）
由①②解得$b+c=2\sqrt{7}$．…（12分）

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是综合题．