Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，则此双曲线的离心率e的最大值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可得|PF₁|-|PF₂|=2a，再由|PF₂|≥c-a，结合离心率公式，即可得到所求最大值．

解答 解：点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有4|PF₂|-|PF₂|=2a，
则|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
由|PF₂|≥c-a，
即为c≤$\frac{5}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{5}{3}$，
当P与右顶点重合，取得最大值$\frac{5}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的最值，注意运用双曲线的定义和范围，考查运算能力，属于中档题．