Question

20．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{b}$|=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，利用向量垂直的性质、向量数量积公式列出方程组，能求出结果．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0}\\{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+{\overrightarrow{b}}^{2}=0}\end{array}\right.$，
∴${\overrightarrow{b}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}$，∴|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|=1．
故选：C．

点评 本题考查向量的模的求法，考查向量垂直、向量数量积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．