Question

13．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求直角坐标系下曲线C₁与曲线C₂的方程；
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的动点，求点P到C₂上点的距离的最大值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cos²α+sin²α=1，能求出曲线C₁的普通方程，由正弦加法定理和ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）由点P到直线距离公式和三角函数性质，能求出点P到C₂上点的距离的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（a为参数），
∴曲线C₁的普通方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∵曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，
∴ρ（sinθcos$\frac{π}{4}$+cosθsin$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，∴ρsinθ+ρcosθ=8，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x+y-8=0．
（Ⅱ）∵P为曲线C₁上的动点，∴P（cosα，$\sqrt{3}$sinα）到直线x+y-8=0的距离：
d=$\frac{|cosα+\sqrt{3}sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{6}）-8|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|sin（α+$\frac{π}{6}$）-4|，
当sin（α+$\frac{π}{6}$）=-1即α=$\frac{4π}{3}$时，d的最大值是5$\sqrt{2}$，
故此时点P的坐标是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离的最小值的求法，解题时要注意点到直线距离公式的合理运用．