Question

（2006•嘉定区二模）已知函数f(x)=|1-

1

x

|，x∈（0，+∞）．
（1）作出函数y=f（x）的大致图象并根据图象写出函数f（x）的单调区间；
（2）设0＜a＜

1

2

，b＞1，试比较f（a）与f（b）的大小；
（3）是否存在实数a，b（0＜a＜b），使得函数y=f（x）在x∈[a，b]上的值域也是[a，b]．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）函数的图象由y=

1

x

（x∈（0，+∞））的图象先做一次关于x轴的对称变换，再向上平移一个单位，再做一次纵向的对折变换得到，由此可得函数y=f（x）的大致图象，进而根据图象下降对应函数的单调递减区间，图象上升对应函数的单调递增区间得到答案
（2）由已知结合函数解析式可得f（a）＞1，f（b）＜1，进而可判断出f（a）与f（b）的大小；
（3）分当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，当a，b∈（0，1）时，和当a，b∈（1，+∞）时，三种情况分别讨论a，b的存在性，最后综合讨论结果可得答案．

解答：解：（1）图象如图所示．…（3分）

单调递减区间：（0，1]；…（4分）
单调递增区间：[1，+∞）…（5分）
（2）由0＜a＜

1

2

，b＞1
得

1

a

＞2，0＜

1

b

＜1，…（7分）
于是f(a)=|1-

1

a

|=

1

a

-1＞2-1=1，f(b)=|1-

1

b

|=1-

1

b

＜1…（9分）
∴f（a）＞f（b）…（10分）
（3）当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，矛盾．
∴a，b∈（0，1）或a，b∈（1，+∞）…（12分）
当a，b∈（0，1）时，f（x）是减函数，于是有f（a）=b，f（b）=a，
即

1

a

-1=b，

1

b

-1=a，得a=b，舍去．…（14分）
当a，b∈（1，+∞）时，由f（x）是增函数知，f（a）=a，f（b）=b，
即1-

1

a

=a，1-

1

b

=b，∴a，b是方程x²-x+1=0的两根，但方程x²-x+1=0
没有实根．即实数a，b也不存在．…（17分）
∴不存在这样的实数a，b（0＜a＜b），使得函数y=f（x）在x∈[a，b]上的值域也是[a，b]．…（18分）

点评：本题考查的知识点是函数图象的变换，函数的单调区间，函数值的比较，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．