Question

3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=1．
（1）求证：∠A=∠B；
（2）求边长c的值；
（3）若|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=6，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及平面向量数量积的运算可得bccosA=accosB，由正弦定理，两角差的正弦函数公式可得sin（A-B）=0，结合范围-π＜∠A-∠B＜π，即可得证∠A=∠B．
（2）由（1）知a=b，再由余弦定理，结合条件bccosA=1，即可得解c的值．
（3）由|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=6，平方得：b²+c²+2bccosA=36，结合bccosA=1，a=b，c=$\sqrt{2}$，解得a，b的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分12分）
（1）证明：因为$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，
所以bccosA=accosB，即bcosA=acosB，
由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB，
所以sin（A-B）=0，
因为-π＜∠A-∠B＜π，
所以∠A-∠B=0，
所以∠A=∠B．…（4分）
（2）解：由（1）知：∠A=∠B，
所以a=b，再由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA  结合条件bccosA=1，a=b得：c=$\sqrt{2}$．…（8分）
（3）解：由|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=6，平方得：b²+c²+2bccosA=36，
又bccosA=1，a=b，c=$\sqrt{2}$，得a=b=4$\sqrt{2}$，
从而有cosA=$\frac{1}{8}$，则sinA=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
所以△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，两角差的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．