Question

8．函数$f（x）=\frac{1}{{{3^x}-1}}+a$（x≠0），则“f（-1）=-1”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．

Answer 1

分析 先根据奇函数的定义求出a=$\frac{1}{2}$，再分别根据充分条件和必要条件的定义判断即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{{{3^x}-1}}+a$，
∴f（-x）=$\frac{1}{{3}^{-x}-1}$+a，
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{1}{{3}^{-x}-1}$+a=-$\frac{1}{{3}^{x}-1}$-a，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∵f（-1）=-1，
∴$\frac{1}{{3}^{-1}-1}$+a=-1，
解得a=$\frac{1}{2}$，
“f（-1）=-1”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件，
故答案为：充要．

点评 本题考查了充要条件和奇函数的定义和性质，属于基础题．