Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，，是它的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程;

（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）求四边形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）直接由题可得，可得椭圆方程；

（Ⅱ）由题，写出直线，的方程，设，由题可得

，再可得，即可求得k的值；

（Ⅲ）利用点到直线的距离公式求得到的距离，再求得AB的长，再利用四边形的面积公式和基本不等式可求得面积的最值.

（Ⅰ）解：依题易知椭圆的长半轴为，短半轴为

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）直线，的方程分别为．如图，设，其中，且满足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，解得或，

（Ⅲ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为 ．