【题目】如图,在中,
,
是
的中点,
是线段
上的一点,且
,
,将
沿
折起使得二面角
是直二面角.
(l)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正切值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析:(l)由勾股定理可得,结合
是
的中点可得
,根据线面平行的判定定理可得
平面
;(2)据题设分析知,
两两互相垂直,以
为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,求出直线
的方向向量,利用向量垂直数量积为零,列方程求出平面
的一个法向量,由空间向量夹角余弦公式求出直线
与平面
所成角的正弦值,进而可得结果.
详解:(1)因为,所以
又,
,
所以
又因为
所以是
的斜边
上的中线,所以
是
的中线,
所以是
的中点,
又因为是
的中位线,
所以
又因为平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)据题设分析知,两两互相垂直,以
为原点,
分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系:
因为,且
分别是
的中点,
所以,
所以有点,
所以,
设平面的一个法向量为
,则
即
,所以
令,则
设直线与平面
所成角的大小为
,则
.
又,所以
,
所以.
故直线与平面
所成角的正切值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】利用节中100户居民用户的月均用水量的调查数据,计算样本数据的平均数和中位数,并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0
2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2. 0 10.5
2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9
2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4
3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0
22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9
5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7
5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3
5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8
7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,,
是它的两个顶点,直线
与直线
相交于点
,与椭圆相交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若,求k的值;
(Ⅲ)求四边形面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知平面直角坐标系中,角的始边与
轴重合,终边与单位圆相交于点
,若
在第一象限,且
(1)求点的坐标
(2)将的终边逆时针旋转
大小的角后与单位圆相交于点
,求点
的坐标
(3)设,线段
绕原点逆时针旋转
角至线段
,请用
表示点
的坐标
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,直线
:
与椭圆相交于
、
两点,椭圆的上顶点
与焦点
关于直线
对称,且
.斜率为
的直线
与线段
相交于点
,与椭圆相交于
、
两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求四边形面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设p:f(x)=在区间(1,+∞)上是减函数;q:若x1,x2是方程x2-ax-2=0的两个实根,则不等式m2+5m-3≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1,1]恒成立.若p不正确,q正确,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如下图,在四棱锥中,
面
,
,
,
,
,
,
,
为
的中点。
(1)求证:面
;
(2)线段上是否存在一点
,满足
?若存在,试求出二面角
的余弦值;若不存在,说明理由。
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