Question

18．命题p：复数z=（m²+m+1）+（m²-3m）i，m∈R表示的点位于复平面第四象限
命题q：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在R上是增函数
如果命题“p∧q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据复数的几何意义求出p的等价条件，利用导数与单调性之间的关系求出q的等价条件，结合复合命题真假之间的关系进行求解即可．

解答 解：若复数z=（m²+m+1）+（m²-3m）i，m∈R表示的点位于复平面第四象．
则$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m+1＞0}\\{{m}^{2}-3m＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x∈R}\\{0＜m＜3}\end{array}\right.$，即0＜m＜3，
p：0＜m＜3．
若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在R上是增函数，
则f′（x）=x²-2（4m-1）x+（15m²-2m-7）≥0在R上是增函数
即判别式△=4（4m-1）²-4（15m²-2m-7）=4（m²-6m+8）=4（m-2）（m-4）≤0，
则2≤m≤4，
即q：2≤m≤4，
若命题“p∧q”为真命题，则p真q真，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜3}\\{2≤m≤4}\end{array}\right.$，即 2≤m＜3．

点评 本题主要考查复合命题真假之间的关系，求出命题的等价条件是解决本题的关键．