Question

1．某公司生产A、B两种产品，且产品的质量用质量指标来衡量，质量指标越大表明产品质量越好．现按质量指标划分：质量指标大于或等于82为一等品，质量指标小于82为二等品．现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如表：

测试指标	[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
产品A	8	12	40	32	8
产品B	7	18	40	29	6

（Ⅰ）请估计A产品的一等奖；
（Ⅱ）已知每件A产品的利润y（单位：元）与质量指标值x的关系式为：$y=\left\{\begin{array}{l}-10，x＜76\\ 5，76≤x＜88\\ 60，x≥88\end{array}\right.$，已知每件B产品的利润y（单位：元）与质量指标值x的关系式为：$y=\left\{\begin{array}{l}-20，x＜76\\ 10，76≤x＜88\\ 80，x≥88.\end{array}\right.$
（i）分别估计生产一件A产品，一件B产品的利润大于0的概率；
（ii）请问生产A产品，B产品各100件，哪一种产品的平均利润比较高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用古典概率计算公式可得估计A产品的一等品率．
（Ⅱ）（i）因为“生产每一件A产品，每一件B产品的利润大于0”等价于“生产每一件A产品，每一件B产品的质量指标大于或等于76”，所以估计生产每一件A产品的利润大于0的概率为：1-$\frac{8}{100}$．估计生产每一件B产品的利润大于0的概率为1-$\frac{7}{100}$．
（ii）利用平均数的计算公式可得：生产100件A产品的平均利润$\overline{{y}_{A}}$，生产100件B产品的平均利润为：$\overline{{y}_{B}}$．

解答 解：（Ⅰ）估计A产品的一等品率为：$\frac{40+32+8}{100}=0.8$．
（Ⅱ）（i）因为“生产每一件A产品，每一件B产品的利润大于0”等价于“生产每一件A产品，每一件B产品的质量指标大于或等于76”，
所以估计生产每一件A产品的利润大于0的概率为：$1-\frac{8}{100}=0.92$，
估计生产每一件B产品的利润大于0的概率为$1-\frac{7}{100}=0.93$．
（ii）因为生产100件A产品的平均利润为：$\overline{y_A}=\frac{8×（-10）+5×（12+40）+60×（32+8）}{100}=25.8$（元）；
生产100件B产品的平均利润为：$\overline{y_B}=\frac{7×（-20）+10×（18+40）+80×（29+6）}{100}=32.4$（元），
因为$\overline{y_A}＜\overline{y_B}$，所以B产品的平均利润比较高．

点评 本题考查了平均数的计算公式、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．