Question

11．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，若λsinA=sinB+sinC（λ∈R）．
（Ⅰ）当λ=3，且b=c时，求cosA的值；
（Ⅱ）当A=60°时，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当λ=3时，根据正弦定理，可得3a=b+c，根据余弦定理及b=c，可得cosA的值．
（Ⅱ）当A=60°时，由三角函数恒等变换的应用化简可求λ=2sin（B+30°），由范围B∈（0°，120°），由正弦函数的性质可求λ的范围．

解答 （本题满分为13分）
解：（Ⅰ）当λ=3时，根据正弦定理，由3sinA=sinB+sinC，可得：3a=b+c，…2分
根据余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-（\frac{b+c}{3}）^{2}}{2bc}$，…4分
由b=c，可得cosA=$\frac{7}{9}$．…6分
（Ⅱ）当A=60°时，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ=sinB+sinC=sinB+sin（120°-B）=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=$\sqrt{3}$sin（B+30°），…9分
∴λ=2sin（B+30°）…10分
∵B∈（0°，120°），可得：B+30°∈（30°，150°），…11分
∴sin（B+30°）∈（$\frac{1}{2}$，1]，…12分
∴λ∈（1，2]…13分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，属于基础题．