Question

3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a+c=2b，则角B的取值范围为$（0，\frac{π}{3}]$．

Answer 1

分析 利用余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-{{（\frac{a+c}{2}）}^2}}}{2ac}=\frac{{3{a^2}+3{c^2}-2ac}}{8ac}≥\frac{6ac-2ac}{8ac}=\frac{1}{2}$，
当且仅当a=c=b，即△ABC为等边三角形时，$cosB=\frac{1}{2}$．
又∵0＜B＜π，∴$B∈（0，\frac{π}{3}]$．
故答案为：$（0，\frac{π}{3}]$．

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．