Question

14．为促进义务教育的均衡发展，各地实行免试就近入学政策，某地区随机调查了50人，他们年龄的频数分布及赞同“就近入学”人数如表：

年龄	[5，15）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）
频数	5	10	15	10	5	5
赞同	4	5	12	8	2	1

（1）在该样本中随机抽取3人，求至少2人支持“就近入学”的概率．
（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取2两人进行调查，记选中的4人支持“就近入学”人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“在该样本中随机抽取3人，至少2人支持就近入学”的事件为A，利用互斥事件概率计算公式能求出至少2人支持“就近入学”的概率．
（2）随机变量X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设“在该样本中随机抽取3人，至少2人支持就近入学”的事件为A，
则至少2人支持“就近入学”的概率P（A）=$\frac{{C}_{32}^{2}{C}_{18}^{1}+{C}_{32}^{3}}{{C}_{50}^{3}}$=$\frac{124}{175}$．
（2）随机变量X的可能取值为1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{225}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{45}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{104}{225}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{28}{75}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{2}{225}$	$\frac{7}{45}$	$\frac{104}{225}$	$\frac{28}{75}$

E（X）=$1×\frac{2}{225}+2×\frac{7}{47}+3×\frac{104}{225}+4×\frac{28}{75}$=$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．