Question

2．公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂，a₅，a₁₄成等比数列，${S_5}=a_3^2$，则a₁₀=19．

Answer 1

分析 由S₅=a₃²，结合等差数列的求和公式可求a₃，然后由a₅²=a₂•a₁₄，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，结合通项公式进行求解即可．

解答 解：设数列的公差为d，（d≠0）
∵S₅=a₃²，得：5a₃=a₃²，
∴a₃=0或a₃=5；
∵a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴a₅²=a₂•a₁₄，
∴（a₃+2d）²=（a₃-d）（a₃+11d）
若a₃=0，则可得4d²=-11d²即d=0不符合题意，
若a₃=5，则可得（5+2d）²=（5-d）（5+11d），
解可得d=0（舍）或d=2，
∴a₁₀=a₃+7d=5+7×2=19，
故答案为：19．

点评 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，利用方程组思想是解决本题的关键．