练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    8．已知一个由11人组成的评审委员会以投票方式从符合要求的甲，乙两名候选人中选出一人参加一次活动．投票要求委员会每人只能选一人且不能弃选，每位委员投票不受他人影响．投票结果由一人唱票，一人统计投票结果．
    （Ⅰ）设：在唱到第k张票时，甲，乙两人的得票数分别为xk，yk，N（k）=xk-yk，k=1，2，…，11．若下图为根据一次唱票过程绘制的N（k）图，
    则根据所给图表，在这次选举中获胜方是谁？y7的值为多少？图中点P提供了什么投票信息？
    （Ⅱ）设事件A为“候选人甲比乙恰多3票胜出”，假定每人选甲或乙的概率皆为$\frac{1}{2}$，则事件A发生的概率为多少？
    （Ⅲ）若在不了解唱票过程的情况下已知候选人甲比乙3票胜出．则在唱票过程中出现甲乙两人得票数相同情况的概率是多少？

    分析 （Ⅰ）因纵轴表示每次唱票时甲的得票数减乙的得票数，故从图表可看出，唱票顺序为甲，甲，乙，乙，乙，乙，甲，甲，甲，甲，乙，由此能求出结果．
    （Ⅱ） 若事件A“候选人甲比乙恰多3票胜出”发生，由甲乙得票共11张，故甲得7票，乙得4票，由每位委员投票不受他人影响，且每人投甲的概率为$\frac{1}{2}$，能求出事件A发生的概率．
    （Ⅲ）设事件B为“在已知条件下，在唱票过程中出现甲乙两人得票数相同情况”，根据第一问的分析可知，如果只知道选举结果，则在生成这种结果的过程中存在两人选票一样的可能．由第一问提供的图表可看出，由于结果中甲的得票数为7高于乙的得票数4，故当第一张选票为乙时，散点图中一定存在点在横轴上，由此能求出事件B的概率．

    解答 解：（Ⅰ）因纵轴表示每次唱票时甲的得票数减乙的得票数
    故从图表可看出，唱票顺序为甲，甲，乙，乙，乙，乙，甲，甲，甲，甲，乙
    故甲胜出（本结论可由第11个点的位置马上就可判断甲赢，如果最后一个点在横轴下，则乙赢），
    y7=4（从图上看第7个点在上升段，应是甲得一票，而之前的下降段，从第二点算起共4个点，故都是乙得票）
    图中点P从位置上看意味着x4-y4=0，即甲乙第4轮唱票后得票数相同．（答案为各得2票也正确）．
    （Ⅱ） 若事件A“候选人甲比乙恰多3票胜出”发生，
    由甲乙得票共11张，故甲得7票，乙得4票，
    因每位委员投票不受他人影响，且每人投甲的概率为$\frac{1}{2}$，
    故事件A发生的概率$p（A）=C_{11}^4{（\frac{1}{2}）^7}{（\frac{1}{2}）^4}=\frac{165}{1024}$．
    （Ⅲ）设事件B为“在已知条件下，在唱票过程中出现甲乙两人得票数相同情况”，
    根据第一问的分析可知，如果只知道选举结果，则在生成这种结果的过程中存在两人选票一样的可能．
    由第一问提供的图表可看出，由于结果中甲的得票数为7高于乙的得票数4，
    故当第一张选票为乙时，散点图中一定存在点在横轴上，
    即出现两人得票相等的情况，这样的点图一共有$C_{11-1}^{4-1}=C_{10}^3$种（即10位评委里再选3位投给乙）
    当第一张选票为甲时，散点图可能有点在横轴上，也可能无点在横轴上，如下图所示的两种投票可能：

    而图二的每一种情况对于第一张选票为乙时的情况一一对应，（最后一次票数相等前图形关于横轴对称，最后一次票数相等后图形重合）
    故当第一张选票为甲时出现两人得票相等情况的点图同样为$C_{10}^3$种
    而所有与唱票情况对应的散点图共$C_{11}^4$种
    故事件B的概率为$p（B）=\frac{{2C_{10}^3}}{{C_{11}^4}}=\frac{8}{11}$．

    点评 本题考查概率的求法及应用，涉及到n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率的计算公式、排列组合等基础知识，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    18．已知a＞0，b＞0，a2+b2-6a=0，则ab的最大值为（　　）
    A．$\frac{{27\sqrt{3}}}{4}$B．9C．$\frac{81}{4}$D．$\frac{27}{4}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    19．已知数列{an}满足：a1+2a2+…+nan=4-$\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}，n∈{N^*}$．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）若bn=（3n-2）an，求数列{bn}的前n项和Sn．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    16．已知$f（x）=2sin（ωx-\frac{π}{3}）$，则“?x∈R，f（x+π）=f（x）”是“ω=2”的（　　）
    A．充分必要条件B．充分不必要条件
    C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a+c=2b，则角B的取值范围为$（0，\frac{π}{3}]$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），椭圆C的右焦点F的坐标为$（\sqrt{3}，0）$，短轴长为2．
    （I）求椭圆C的方程；
    （II）若点P为直线x=4上的一个动点，A，B为椭圆的左、右顶点，直线AP，BP分别与椭圆C的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN恒过点E（1，0）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    20．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b垂直”是“平面α和平面β垂直”的（　　）
    A．充分不必要条件B．必要不充分条件
    C．充要条件D．既不充分也不必要条件

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    17．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥0}\\{x-y≤0}\\{x-2y+2≥0}\end{array}\right.$中的点在x轴上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=3．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    18．设（a+i）2=bi，其中a，b均为实数，若z=a+bi，则|z|=$\sqrt{5}$．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案