Question

17．如图示：半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一
点，以AB为一边作等边三角形ABC．则四边形OACB的面积最大值是2+$\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设∠AOB=α，利用余弦定理求出AB²，再求四边形OACB的面积S的解析式，根据α的取值范围求出S的最大值即可．

解答 解：设∠AOB=α，在△AOB中，由余弦定理得：
AB²=1²+2²-2×1×2cosα=5-4cosα，
所以四边形OACB的面积为：
S=S_△AOB+S_△ABC
=$\frac{1}{2}$OA•OBsinα+$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²
=$\frac{1}{2}$×2×1×sinα+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosα）
=sinα-$\sqrt{3}$cosα+$\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$
=2sin（α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$，
∵0＜α＜π，
∴当α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得α=$\frac{5}{6}$π，
即∠AOB=$\frac{5π}{6}$时，四边形OACB面积取得最大值，最大为2+$\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理以及三角函数的化简和求最大值问题，是基础题目．