Question

已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x．
（I）当a≤0时，求f（x）的单调区间
（Ⅱ）若不等式有解，求实数m的取值菹围；
（Ⅲ）证明：当a=0时，|f（x）-g（x）|＞2．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=（ax+lnx）′=a+，
①当a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为单调递增函数；
②当a＜0时，f′（x）=0，得x=-，当x∈（0，-）时，f′（x）＞0；当x∈（-，+∞）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，-）为单调递增函数；在（-，+∞）为单调递减函数；
（II）由题意，不等式g（x）＜有解，即＜x-m有解，
因此只须m＜x-，x∈（0，+∞），
设h（x）=x-，x∈（0，+∞），h′（x）=1-e^x（+），
因为≥2=＞1，且e^x＞1，∴1-e^x（）＜0，
故h（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴h（x）＜h（0）=0，故m＜0．
（III）当a=0时，f（x）=lnx，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），
|f（x）-g（x）|=|lnx-e^x|=e^x-lnx=e^x-x-（lnx-x），
设m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞），
因为m′（x）=e^x-1＞0，m（x）在（0，+∞）上是增函数，m（x）＞m（0）=1，
又设n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞），
因为n′（x）=-1，当x∈（0，1）时，n′（x）＞0，n（x）在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0，n（x）在（1．+∞）上是减函数，
∴当x=1时，n（x）取得极大值，即n（x）≤n（1）=-1，
故|f（x）-g（x）|=m（x）-n（x）＞1-（-1）=2．
分析：（Ⅰ）先求出其导函数，以及导函数大于0，小于0对应的区间即可求函数f（x）的单调区间；
（II）因为关于x的不等式g（x）＜有解，将问题转化为＜x-m有解，利用分离常数法进行求解；
（III）当a=0时，f（x）=lnx，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），由于|f（x）-g（x）|=|lnx-e^x|=e^x-lnx=e^x-x-（lnx-x），设m（x）=e^x-x，利用导数研究其单调性得出m（x）＞m（0）=1，同样地，设n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞），得到n（x）≤n（1）=-1，从而有|f（x）-g（x）|=m（x）-n（x）＞1-（-1）=2；
点评：本题考查利用导数求函数的单调区间的方法，求函数的导数以及利用导数研究函数的极值．注意函数的定义域，此题是一道综合性题，考查学生计算能力；