Question

12．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA₁=$\sqrt{3}$．
（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求二面角D-A₁C-A的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC₁交A₁C于点G，连结DG．推导出DG∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面A₁DC．
（2）过点D作DE⊥AC于E，过点D作DF⊥A₁C交A₁C于F，连结EF，推导出∠DFE是二面角D-A₁C-A的平面角．由此能求出二面角D-A₁C-A的平面角的正弦值．

解答 证明：（1）连结AC₁交A₁C于点G，连结DG．
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴AG=GC₁．
∵AD=DB，
∴DG∥BC₁．…（2分）
∵DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．…（4分）
解：（2）过点D作DE⊥AC于E，
过点D作DF⊥A₁C交A₁C于F，连结EF，
∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，DE?平面ABC，
平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，
∴DE⊥平面ACC₁A₁，
∴EF是DF在平面ACC₁A₁内的射影，
∴EF⊥A₁C
∴∠DFE是二面角D-A₁C-A的平面角．
在直角三角形ADC中，$DE=\frac{AD•DC}{AC}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
同理可求：$DF=\frac{{{A_1}D•DC}}{{{A_1}C}}=\frac{{\sqrt{39}}}{8}$．
∴$sinDFE=\frac{DE}{DF}=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的平面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．