Question

17．已知向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{2π}{3}$，且|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|=2，又向量$\overrightarrow c$=x$\overrightarrow a$+y$\overrightarrow b$（x∈R且x≠0，y∈R），则|$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的数量积的运算求得则$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{|x|}{2\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}+xy}}$=$\frac{1}{2\sqrt{1{+（\frac{y}{x}）}^{2}+\frac{y}{x}}}$，再利用二次函数的性质，求得它的最大值．

解答 解：向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{2π}{3}$，且|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|=2，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2•2•cos$\frac{2π}{3}$=-2，
又∵向量$\overrightarrow c$=x$\overrightarrow a$+y$\overrightarrow b$（x∈R且x≠0，y∈R），∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{4x}^{2}+{4y}^{2}-4xy}$=2$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-xy}$，
则|$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{|x|}{2\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}+xy}}$=$\frac{1}{2\sqrt{1{+（\frac{y}{x}）}^{2}+\frac{y}{x}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{{（\frac{y}{x}+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}}}$≤$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当$\frac{y}{x}$=-$\frac{1}{2}$时，取等号，故|$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，二次函数的性质，属于中档题．