Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n+2a_n+1=6，则a₄=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{7}{4}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由已知数列递推式构造等比数列{a_n-2}，再由等比数列的通项公式求得a_n，则a₄可求．

解答 解：由a_n+2a_n+1=6，得a_n+1=-$\frac{1}{2}$a_n+3，
即${a}_{n+1}-2=-\frac{1}{2}（{a}_{n}-2）$，
又a₁-2=4-2=2≠0，
∴数列{a_n-2}是以2为首项，以$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
则${a}_{n}-2=2×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，∴${a}_{n}=2+2×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
则${a}_{4}=2+2×（-\frac{1}{2}）^{3}=\frac{7}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．