Question

【题目】在非负数构成的数表中，每行的数互不相同，前六列中每列的三数之和为1，均大于1．如果的前三列构成的数表满足下面的性质：对于数表中的任意一列（）均存在某个使得．①

求证：（1）最小值（）一定去自数表的不同列；

（2）存在数表中唯一的一列（）使得数表仍然具有性质（）．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）假设最小值（）不是取自数表的不同列．则存在一列不含任何不妨设（）．由于数表中同一行中的任何两个元素都不等，于是，（）．使得．矛盾．

（2）由抽屉原理知中至少有两个值取在同一列．不妨设．由（1）知数表的第一列一定含有某个，则只能是．

同理，第二列中也必含某个（）．不妨设．

于是，，即是数表中的对角线上数字：．

记．令集合．显然，且．因为，所以，．故．于是，存在．使得．显然，．下面证明：数表具有性质（）．

从上面的选法可知（）．这说明．

又由满足性质（），在式①中取，推得．于是，．接下来证明：对任意的，存在某个（）使得．

假若不然，则（）且．这与的最大性矛盾．因此，数表满足性质（）．

再证唯一性．设有使得数表具有性质（）．

不失一般性，可假定②

．由于及（1），有．又由（1）知，或者，③或者④如果式③成立，则⑤由数表满足性质（），则对于至少存在一个，使得．

又由式②、⑤知．所以，只能有．同理，由数表满足性质（）得．于是，，即数表．如果式④成立，则⑥由数表满足性质（），则对于，存在某个（）使得．由及式②、⑥知．于是，只能有．同理，由满足性质（）及得．从而．