Question

【题目】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且

求抛物线的方程；

动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得的坐标，代入抛物线方程，解得，进而得到抛物线的方程；在轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，可得轴平分，设，，联立和，根据恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得的方程，求得，可得结论．

抛物线C：的焦点为，

准线方程为，

即有，即，

则，解得，

则抛物线的方程为；

在x轴上假设存在定点其中，

使得与向量共线，

由，均为单位向量，且它们的和向量与共线，

可得x轴平分，

设，，

联立和，

得，

恒成立．

，

设直线DA、DB的斜率分别为，，

则由得，

，

，

联立，得，

故存在满足题意，

综上，在x轴上存在一点，使得x轴平分，

即与向量共线．