Question

已知函数f（x）=

a

•(

b

+

a

)，其中

a

=(coswx，0)，

b

=(

3

sinwx，1)，且w为正实数．
（1）求f（x）的最小值；
（2）对任意m∈R，函数y=f（x），x∈[m，m+4π]的图象与直线2y+1=0有且仅有一个交点，试判断函数f（x+

2π

3

）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式化简函数f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，由此求得它的最小值．
（2）由题意可得，函数的周期为4π，由此求得ω的值，化简函数f（x+

2π

3

）的解析式cos（

1

2

x）+

1

2

，可得函数为偶函数．

解答：解：（1）∵

a

=(coswx，0)，

b

+

a

=（

3

siωx+cosωx，1），
函数 f（x）=

a

•(

b

+

a

)=cosωx（

3

sinωx+cosωx）+0=

3

sinωx•cosωx+cos²ωx
=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

．
故函数 f（x）的最小值为-1+

1

2

=-

1

2

．
（2）由题意可得，函数的周期为4π，故

2π

2ω

=4π，ω=

1

4

．
∴f（x+

2π

3

）=sin（

1

2

x+

π

3

+

π

6

）+

1

2

=cos（

1

2

x）+

1

2

=cos（-

1

2

x）+

1

2

，x∈R，
故函数f（x+

2π

3

） 为偶函数．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，余弦函数的奇偶性，诱导公式的应用，属于中档题．