Question

已知函数f（x）=

a-x2

（a＞0）的图象与直线x+y-2=0相切．
（1）求a的值；
（2）求函数y=x+

2-x2

的值域．

Answer 1

分析：（1）y=f（x）的图象为圆x²+y²=a的上半部分，根据它与直线x+y-2=0相切，可建立方程，从而可求a的值；
（2）利用三角换元，再利用辅助角公式，结合正弦函数的图象，即可求得函数的值域．

解答：解：（1）设y=

a-x2

（a＞0），∴x²+y²=a（y≥0）
∴y=f（x）的图象为圆x²+y²=a的上半部分
∵它与直线x+y-2=0相切
∴

a

=

2

2

∴a=2
（2）令x=

2

sinα(-

π

2

≤α≤

π

2

)，则y=

2

sinα+

2

cosα=2sin(α+

π

4

)
∵-

π

2

≤α≤

π

2

∴-

π

4

≤α+

π

4

≤

3π

4

∴-

2

2

≤sin(α+

π

4

)≤1
∴函数y=x+

2-x2

的值域为[-

2

，2]

点评：本题以函数为载体，考查直线与圆相切，考查圆的参数方程的运用，解题的关键是正确换元．