Question

15．已知函数f（x）=x^a的图象过点（4，2），令a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$，n∈N^*，记（a_n}的前n项为S_n，则S₂₀₁₆=（　　）

• A． $\sqrt{2014}$-1
• B． $\sqrt{2015}$-1
• C． $\sqrt{2016}$-1
• D． $\sqrt{2017}$-1

Answer 1

分析 根据幂函数的定义求出函数的解析式，即可得到a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，裂项求和得到S_n=$\sqrt{n+1}$-1，代值计算即可．

解答 接：∵f（x）=x^a的图象过点（4，2），
∴2=4^α，
∴α=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{x}$，
∴a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$$-\sqrt{2}$）+（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）+…（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1，
∴S₂₀₁₆=$\sqrt{2017}$-1，
故选：D

点评 本题考察了数列与函数的关系，以及裂项求和，属于基础题