Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx），函数f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期及x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最值；
（2）若关于x的方程f（x）=m在区间[0，$\frac{π}{2}$]上只有一个实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1，由周期公式可求周期，由$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，可求2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，从而由函数单调性可求最值．
（2）由正弦函数的单调性知f（x）在[0，$\frac{3π}{8}$]上递增，在[$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上递减，又f（0）=0，f（$\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}+1$，f（$\frac{π}{2}$）=2，结合图象可知实数m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=2$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=2sinxcosx+2sin²x…（1分）
=sin2x+1-cos2x…（2分）
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1…（3分）
所以最小正周期T=π…（4分）
当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，…（5分）
故当2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{3π}{8}$时，f（x）取得最大值$\sqrt{2}+1$
当2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$即x=0时，f（x）取得最小值
所以函数f（x）的最大值为f（$\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}+1$，最小值为f（0）=0…（8分）
（少求一个最值扣一分，两个全错扣三分）
（2）由正弦函数的单调性知f（x）在[0，$\frac{3π}{8}$]上递增，在[$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上递减…（9分）
又f（0）=0，f（$\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}+1$，f（$\frac{π}{2}$）=2…（10分）
要想方程f（x）=m在区间[0，$\frac{π}{2}$]上只有一个实根，结合图象可知只需满足
m=$\sqrt{2}+1$或0≤m≤2…（13分）
（若有分析过程，但无图象，不扣分，若只画出了函数的大致图象，但没有得出答案，则扣两分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．