Question

3．已知函数f（x）=x³+ax²-3x（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=$\frac{1}{3}$是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[-a，1]上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出导函数f′（x），通过f（x）在[1，+∞）上是增函数，得到f′（x）≥0．即可求出a的范围．
（2）由f′（$\frac{1}{3}$）=0，求出a，然后求出极值点，求出极值以及端点函数值，即可得到最大值．
（3）两个函数图象恰有3个交点，转化为方程x³+4x²-3x=bx恰有3个不等实根．利用判别式以及根的分布求解即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0．
∴-$\frac{a}{3}$≤1且f′（1）=2a≥0．
∴a≥0．
（2）由题意知f′（$\frac{1}{3}$）=0，即$\frac{1}{3}$+$\frac{2a}{3}$-3=0，
∴a=4．
∴f（x）=x³+4x²-3x．
令f′（x）=3x²+8x-3=0得x=$\frac{1}{3}$或x=-3．
∵f（-4）=12，f（-3）=18，f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{14}{27}$，f（1）=2，
∴f（x）在[-a，1]上的最大值是f（-3）=18．
（3）若函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x³+4x²-3x=bx恰有3个不等实根．
∵x=0是其中一个根，
∴方程x²+4x-（3+b）=0有两个非零不等实根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=16+4（3+b）＞0}\\{-（3+b）≠0}\end{array}\right.$，
∴b＞-7且b≠-3．
∴满足条件的b存在，其取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及根的分布的应用，考查计算能力转化思想的应用．