Question

11．已知函数$f（x）=ln（1+x）-\frac{x}{{{{（1+x）}^a}}}$，实数a＞0．
（Ⅰ）若a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=2时，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{（1+x）^{2}}$，f′（x）=$\frac{x（x+3）}{（1+x）^{3}}$．（x＞-1）．即可得出单调区间．
（Ⅱ）函数$f（x）=ln（1+x）-\frac{x}{{{{（1+x）}^a}}}$，实数a＞0．f（0）=0．（x＞0）．可得f′（x）=$\frac{（1+x）^{a}-（1+x-ax）}{（1+x）^{a+1}}$．令g（x）=（1+x）^a-（1+x）+ax，g（0）=0．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{（1+x）^{2}}$，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{（1+x）^{2}-2x（1+x）}{（1+x）^{4}}$=$\frac{x（x+3）}{（1+x）^{3}}$．（x＞-1）．
∴函数f（x）的单增区间为（0，+∞）；单减区间为（-1，0）．
（Ⅱ）函数$f（x）=ln（1+x）-\frac{x}{{{{（1+x）}^a}}}$，实数a＞0．f（0）=0．（x＞0）．
f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1+x-ax}{（1+x）^{a+1}}$
=$\frac{（1+x）^{a}-（1+x-ax）}{（1+x）^{a+1}}$．
令g（x）=（1+x）^a-（1+x）+ax，g（0）=0．
①当0＜a$≤\frac{1}{2}$时，g′（x）≤0，函数g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，满足条件．
②a$＞\frac{1}{2}$时，存在x₀＞0，使得g′（x₀）=0，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，x₀）上单调递增，g（x）＞g（0）．
从而f（x）在（0，x₀）上单调递增，f（x）＞f（0）=0，不满足条件，舍去．
综上可得：a$≤\frac{1}{2}$．
即a的最大值为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．