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已知函数f（x）=ax²-2x+1
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若 $数学公式$ ，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），求M（a）的表达式；
（3）若 $数学公式$ ，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式．

解：（1）当a=0时，函数f（x）=-2x+1在（-∞，+∞）上为减函数…（2分）
当a＞0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向上，对称轴为 $\text{[math]}$
∴函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上为减函数，在 $\text{[math]}$ 上为增函数…（4分）
当a＜0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向下，对称轴为 $\text{[math]}$
∴函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上为增函数，在 $\text{[math]}$ 上为减函数…（6分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，M（a）=f（3）=9a-5，当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，M（a）=f（1）=a-1，
∴M（a）= $\text{[math]}$ …（8分）
（3）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，M（a）=f（3）=9a-5，∴ $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，M（a）=f（1）=a-1，∴ $\text{[math]}$ …（12分）
∴ $\text{[math]}$ …（13分）
分析：（1）对参数a进行讨论，分一次函数、二次函数，确定函数的单调性；
（2）配方，确定函数对称轴与区间的关系，即可得到M（a）的表达式；
（3）先确定 $\text{[math]}$ ，再利用（2）的结论，即可求得g（a）的表达式．
点评：本题考查函数的单调性，考查二次函数在指定区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．

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