Question

设函数f（x）=

log2013x，x＞a f(x+2013)，x≤a

，若对于任意小于2的整数n，恒有f（2013n）=1，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（-2012，0）
• B、（0，2012）
• C、[0，2013）
• D、（2012，2013）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：讨论当x＞a时，f（x）=log₂₀₁₃x，x＞0，故a≥0，再由条件得到经过x≤a时f（x）=f（x+2013）的变换，得到x=2013，若a≥2013，则不成立，即可得到a的范围．

解答： 解：当x＞a时，f（x）=log₂₀₁₃x，x＞0，故a≥0，否则对数不存在；
由于对于任意小于2的整数n，恒有f（2013n）=1，
则经过x≤a时f（x）=f（x+2013）的变换，得到x=2013，
若a≥2013，则不管怎样，都得不到函数值为1，
故a＜2013．
故a的范围为[0，2013）．
故选C．

点评：本题考查分段函数及应用，考查分段函数值，必须考虑各段的情况，同时考查恒成立思想，注意从反面考虑，是一道中档题．