Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sinωxsin（{\frac{π}{2}-ωx}）-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}（{ω＞0}）$，其图象上相邻的最高点和最低点的距离为$\sqrt{5}$．
（I）求f（x）的解析式及对称中心；
（II）求函数f（x）在$[{-1，\frac{1}{2}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角和诱导公式以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，图象上相邻的最高点和最低点的距离为$\sqrt{5}$．求出相邻的最高点和最低点横坐标的距离就是$\frac{1}{2}T$，可得T的值，从而求出ω．可得f（x）的解析式及对称中心；
（II）x∈$[{-1，\frac{1}{2}}]$上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的取值范围．

解答 解：（I）函数f（x）=$\sqrt{3}sinωxsin（{\frac{π}{2}-ωx}）-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}（{ω＞0}）$，
化简可得：f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）
设函数f（x）的最小正周期为T，
∵图象上相邻的最高点和最低点的距离为$\sqrt{5}$．相邻的最高点和最低点纵坐标的差为2．
∴相邻的最高点和最低点横坐标的距离为$\frac{1}{2}T$=5-4
∴T=2，即$\frac{2π}{2ω}=2$，
∴ω=$\frac{π}{2}$．
则f（x）的解析式为：f（x）=sin（πx-$\frac{π}{6}$）
令πx-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
可得：x=k$+\frac{1}{6}$．
∴f（x）的对称中心为（$k+\frac{1}{6}，0$），k∈Z；
（II）x∈$[{-1，\frac{1}{2}}]$上时，
可得：$-\frac{7π}{6}≤πx-\frac{π}{6}≤\frac{π}{3}$，
当πx-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值为-1．
当πx-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴函数f（x）在$[{-1，\frac{1}{2}}]$上的最小值为-1．最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．