(本小题满分13分)已知函数,.
(Ⅰ)设(其中是的导函数),求的最大值;
(Ⅱ)求证: 当时,有;
(Ⅲ)设,当时,不等式恒成立,求的最大值.
(Ⅰ)当时,取得最大值;
(Ⅱ)当时,.由(1)知:当时,,即.
因此,有.
(Ⅲ)整数的最大值是.
解析试题分析:(Ⅰ),所以 .
当时,;当时,.
因此,在上单调递增,在上单调递减.
因此,当时,取得最大值; ………………3分
(Ⅱ)当时,.由(1)知:当时,,即.
因此,有.………………7分
(Ⅲ)不等式化为所以
对任意恒成立.令,则,
令,则,所以函数在上单调递增.
因为,
所以方程在上存在唯一实根,且满足.
当,即,当,即,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
所以.
所以.故整数的最大值是. ……………13分
考点:本题主要考查了导数的运算、导数在函数单调性及不等式中的应用。
点评:较难题,利用导数求函数单调区间的方法,解题时注意函数的定义域,避免出错。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)
把边长为的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为,容积为.
(Ⅰ)写出函数的解析式,并求出函数的定义域;
(Ⅱ)求当x为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(14分)已知函数,其中常数。
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)当时,是否存在实数,使得直线恰为曲线的切线?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)设定义在上的函数的图象在点处的切线方程为,当时,若在内恒成立,则称为函数的“类对称点”。当,试问是否存在“类对称点”?若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由.
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