Question

14．某人为增加家庭收入，年初用49万元购买了一辆货车用于长途运输，第一年各种费用支出为6万元，以后每年都增加2万元，而每年的运输收益为25万元；
（1）求车主前n年的利润f（n）关于年数n的函数关系式，并判断他第几年开始获利超过15万元；（注：利润=总收入-总成本）
（2）若干年后，车主准备处理这辆货车，有两种方案：
方案一：利润f（n）最多时，以4万元出售这辆车；
方案二：年平均利润最大时，以13万元出售这辆车；
请你利用所学知识帮他做出决策．

Answer 1

分析 （1）判断题目是关于等差数列的知识，然后列出f（n）的关系式，令f（n）＞15求出n，可得车主第5年开始获利超过25万元；
（2）对方案一：利润f（n）=-（n-10）²+51求出最大值，对方案二：年平均获利，得到n=7时，年平均获利最大，然后建议车主采用方案二处理这条货车．

解答 （本题满分12分）
解：（1）每年的费用支出是以6为首项，2为公差的等差数列，…（1分）
依题意$f（n）=25n-[6n+\frac{n（n-1）}{2}×2]-49=-{n^2}+20n-49$…（3分）
令f（n）＞15得n²-20n+64＜0，解得4＜n＜16…（5分）
故车主第5年开始获利超过25万元；                  …（6分）
（2）对方案一：利润f（n）=-（n-10）²+51
所以当n=10时，利润取得最大值，为51万元
此时出售货车，共获利51+4=55万元           …（8分）
对方案二：年平均获利$\frac{f（n）}{n}=20-（n+\frac{49}{n}）≤20-2\sqrt{49}=6$万元
所以当$n=\frac{49}{n}$即n=7时，年平均获利最大，…（10分）
此时出售货车，共获利6×7+13=55万元     …（11分）
这两种方案车主均获利55万元，但方案一用时10年，而方案二只需7年，用时较少，故建议车主采用方案二处理这条货车                      …（12分）

点评 本题考查数列在函数中的应用，考查分析问题解决问题的能力．