Question

11．函数f（x）=x³+ax²+bx+c（其中a，b，c∈R），若g（x）=f（x）+f′（x）为奇函数，且y=f（x）在（0，f（0））处的切线与直线x+y-2=0垂直．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在[-1，3]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，再由两直线垂直的条件可得b=1，由奇函数的定义可得a=-3，b+c=0，即可得到a，b，c的值；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，求出导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极小值，也为最小值，求出端点的函数值，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³+ax²+bx+c的导数为f′（x）=3x²+2ax+b，
g（x）=f（x）+f′（x）为奇函数，
即有g（x）=x³+（a+3）x²+（2a+b）x+b+c为奇函数，
即有g（-x）=g（x），
则a=-3，b+c=0，
y=f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为k=b，
由于切线与直线x+y-2=0垂直，
即有b=1，c=-1，
故a=-3，b=1，c=-1；
（Ⅱ）g（x）=x³-5x，g′（x）=3x²-5=3（x-$\frac{\sqrt{15}}{3}$）（x+$\frac{\sqrt{15}}{3}$），
令g′（x）＞0，可得x＞$\frac{\sqrt{15}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
令g′（x）＜0，可得-$\frac{\sqrt{15}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
即有g（x）的增区间为（-∞，-$\frac{\sqrt{15}}{3}$），（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，+∞），
减区间为（-$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\frac{\sqrt{15}}{3}$）．
x=$\frac{\sqrt{15}}{3}$处，g（x）取得极小值，也为最小值，且为-$\frac{10\sqrt{15}}{9}$，
而g（-1）=4，g（3）=12，
则g（x）的最大值为12．
故g（x）在[-1，3]上的最小值为-$\frac{10\sqrt{15}}{9}$，最大值为12．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．