Question

已知函数f（x）对任意的实数m，n，f（m+n）=f（m）+f（n），当x＞0时，有f（x）＞0．
（1）求证：f（0）=0
（2）求证：f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
（3）若f（1）=1，解不等式f（4^x-2^x）＜2．

Answer 1

（1）解：令m=n=0，
f（m+n）=f（m）+f（n），由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0．
（2）证明：设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[（x₂-x₁）+x₁]
=f（x₁）-[f（x₂-x₁）+f（x₁）]
=-f（x₂-x₁），
因为当x＞0时，有f（x）＞0，且x₂-x₁＞0，所以f（x₂-x₁）＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
（3）解：由f（1）=1及已知，得2=f（1）+f（1）=f（2），
所以不等式f（4^x-2^x）＜2等价于f（4^x-2^x）＜f（2）．
由（2）知f（x）为R上的增函数，所以有4^x-2^x＜2，
不等式f（4^x-2^x）＜2即（2^x）²-2^x-2＜0，则（2^x+1）（2^x-2）＜0，
所以2^x＜2，解得x＜1．
故不等式f（4^x-2^x）＜2的解集为{x|x＜1}．
分析：（1）赋值法：在f（m+n）=f（m）+f（n）中，令m=n=0即可解得；
（2）利用增函数的定义证明：设x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₁）-[f（x₂-x₁）+f（x₁）]=-f（x₂-x₁），再结合x＞0时，有f（x）＞0，可得到f（x₁）＜f（x₂）．
（3）由f（1）=1及已知可得2=f（2），再由函数f（x）的单调性可把不等式f（4^x-2^x）＜2化为4^x-2^x＜2，从而可求得不等式．
点评：本题考查抽象函数的函数值及其单调性问题，定义及其性质是解决抽象函数问题的主要手段．