Question

如图，在△ABC中，线段BE，CF交于点P，设向量

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AP

=

c

，

AF

=

2

3

a

，

AE

=

1

2

b

，则向量

c

可以表示为（　　）

• A、

  c

  =

  3

  4

  a

  +

  1

  2

  b

• B、

  c

  =

  1

  2

  a

  +

  3

  4

  b

• C、

  c

  =

  1

  2

  a

  +

  1

  4

  b

• D、

  c

  =

  1

  4

  .

  a

  +

  1

  2

  .

  b

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由图形知道F，P，C三点共线，从而存在实数λ，使

AP

=λ

AF

+(1-λ)

AC

，由已知

AF

=

2

3

a

，

AE

=

1

2

b

，所以

AP

=

2

3

λ

a

+(1-λ)

b

，同理可得

AP

=μ

AB

+(1-μ)

AE

=μ

a

+

1

2

(1-μ)

b

，利用平面向量基本定理可得方程组解出λ、μ，得到选项．

解答： 解：因为F，P，C三点共线，
∴存在实数λ，使

AP

=λ

AF

+(1-λ)

AC

，
由已知

AF

=

2

3

a

，

AE

=

1

2

b

，所以

AP

=

2

3

λ

a

+(1-λ)

b

，
同理

AP

=μ

AB

+(1-μ)

AE

=μ

a

+

1

2

(1-μ)

b

，
∴

2 3 λ=μ 1-λ= 1 2 (1-μ)

解得

λ= 3 4 μ= 1 2

所以

c

=

1

2

a

+

1

4

b

；
故选C．

点评：本题考查了平面向量基本定理运用，以及三点共线的向量性质的运用，灵活运用定理是关键．