Question

已知函数f（x）=2^x-

1

2|x|

．
（1）求f（-4）的值；
（2）若f（x）=2，求x的值；
（3）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）代入计算即可
（2）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；
（3）由 t∈[1，2]时，2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=2^t-

1

2t

，代入得到m的范围即可．

解答： 解：（1）f（-4）=2^-4-

1

2|-4|

=0
（2）依题意得，）=2^x-

1

2|x|

=2，（*）
当x≤0时，f（x）=0，故方程f（x）=2无解
当x＞0时，方程（*）变形为，2^x-

1

2x

=2，
即2^2x-2×2^x-1=0，解得2^x=1±

2

，（负值舍去）
∴2^x=1+

2

，
∴x=log₂（1+

2

）．
（3）当t∈[1，2]时，2^t（2^2t-

1

2|2t|

）+m（2^t-

1

2|t|

）≥0，
即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）．
∵2^2t-1＞0，
∴m≥-（2^2t+1）．
∵t∈[1，2]，
∴-（1+2^2t）∈[-17，-5]，
故m的取值范围是[-5，+∞）．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题．属于基础题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求．