Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，离心率e=

6

3

，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线和原点的距离为

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C，D两点，是否存在k的值，使以CD为直径的圆恰过点E？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线AB：

x

a

+

y

-b

=1，化为bx-ay-ab=0，由于过点A（0，-b）和B（a，0）的直线和原点的距离为

3

2

．可得

ab

a2+b2

=

3

2

，又

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²，解出即可．
（2）假设存在k的值，使以CD为直径的圆恰过点E．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立可得（1+3k²）x²+12kx+9=0，△＞0，化为k²＞1．可得根与系数的关系，

EC

•

ED

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，代入解出即可．

解答： 解：（1）直线AB：

x

a

+

y

-b

=1，化为bx-ay-ab=0，
∵过点A（0，-b）和B（a，0）的直线和原点的距离为

3

2

．
∴

ab

a2+b2

=

3

2

，又

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²，
联立解得a²=3，b=1，
∴椭圆的方程为：

x2

3

+y2=1．
（2）假设存在k的值，使以CD为直径的圆恰过点E．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
联立

y=kx+2 x2+3y2=3

，
化为（1+3k²）x²+12kx+9=0，
△=144k²-36（1+3k²）＞0，
化为k²＞1．
∴x₁+x₂=-

12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

．
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．

EC

•

ED

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0，
∴

9(1+k2)

1+3k2

-

12k(2k+1)

1+3k2

+5=0，
化为k=

7

6

，满足△＞0．
∴直线CD的方程为：y=

7

6

x+2，化为7x-6y+12=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．