Question

已知函数f（x）=x+

a

x

（a＞0）
（1）判断它的奇偶性；
（2）求证：f（x）在（0，

a

）上是减函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数为奇函数．确定函数的定义域，利用奇函数的定义，即可得到结论；
（2）设x₁、x₂∈（0，

a

），且x₁＜x₂，按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行证明，作差后要因式分解，判断f（x₁）与f（x₂）的大小．

解答： （1）解：函数为奇函数．
函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f（-x）=-x-

a

x

=-（x+

a

x

）=-f（x）
∴f（x）是奇函数；
（2）证明：设x₁、x₂∈（0，

a

），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

a

x1

-x₂-

a

x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

，
∵x₁、x₂∈（0，

a

），∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜a，
∴

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴（x）在（0，

a

）上是减函数．

点评：本题考查函数的性质，考查学生的计算能力；利用定义证明函数的单调性按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行．