Question

8．已知cos（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）．
（Ⅰ）求sinx的值；
（Ⅱ）求sin（2x-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可求范围$x-\frac{π}{4}∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$，利用同角三角函数基本关系式可求sin（x-$\frac{π}{4}$），利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式可求cosx，利用二倍角公式可求sin2x，cos2x，进而利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）因为：$x∈（{\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}}）$，
所以：$x-\frac{π}{4}∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$，…（2分）
于是：$sin（{x-\frac{π}{4}}）=\sqrt{1-{{cos}^2}（{x-\frac{π}{4}}）}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，…（4分）
$\begin{array}{l}sinx=sin（{（{x-\frac{π}{4}}）+\frac{π}{4}}）=sin（{x-\frac{π}{4}}）cos\frac{π}{4}+cos（{x-\frac{π}{4}}）sin\frac{π}{4}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{10}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{4}{5}\end{array}$．…（6分）
（Ⅱ）因为$x∈（{\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}}）$，
故$cosx=-\sqrt{1-{{sin}^2}x}=-\sqrt{1-{{（{\frac{4}{5}}）}^2}}=-\frac{3}{5}$，…（7分）
$sin2x=2sinxcosx=-\frac{24}{25}，cos2x=2{cos^2}x-1=-\frac{7}{25}$，…（10分）
$sin（{2x-\frac{π}{6}}）$=$sin2xcos\frac{π}{6}-cos2xsin\frac{π}{6}=\frac{{7-24\sqrt{3}}}{50}$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，二倍角公式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．